第 2 章　古典概型与几何概型

2.1古典概型：等可能下的数数

上一章我们有了概率的公理化定义，但它太抽象——它告诉你概率「是什么规矩」，却没告诉你「怎么算」。这一章开始学第一种具体算法。

古典概型的两个前提

如果一个随机试验满足下面两个条件，就叫古典概型（也叫等可能概型）：

• 有限性：样本空间 Ω 只含有限个样本点，比如 Ω = {ω₁, ω₂, …, ωₙ}。
• 等可能性：每个样本点发生的可能性完全相同，即 P(ω₁) = P(ω₂) = … = P(ωₙ)。

掷一颗质地均匀的骰子，就是最典型的古典概型：6 个面，每个面朝上的机会都一样。

这两个前提不是随手写的，值得逐条推敲。先看等可能性从哪里来：它不是数学能证明的东西，而来自物理对称性——骰子是质地均匀的正六面体，抛掷方式不偏袒任何一面，于是「没有任何一个面比别的面更特殊」，我们才有理由让六个面平分概率。换句话说，等可能不是从数据里读出来的结论，而是把「物理上的对称」翻译成「概率上的均分」的一次建模动作。物理对称在前，概率均分在后，这个顺序不能颠倒。

再看为什么「有限性」不可少。设每个样本点等可能且总概率为 1，那么 n 个样本点每个分得 1/n。若样本点无穷多，1/n 就趋于 0，每个样本点的概率只能取 0——可无穷多个 0 加起来还是 0，凑不出总概率 1。这说明「无穷多个等可能结果」根本无法靠「数数」来分配概率，必须换一套分配方式（用长度、面积这类「测度」去切蛋糕），那正是本章第 5 节几何概型要做的事。古典概型把「有限」写进定义，是在提前堵住这个逻辑漏洞。

核心公式

在古典概型下，设事件 A 包含 k 个样本点，Ω 共含 n 个样本点，则：

P(A) = k ⁄ n =（A 包含的样本点数）⁄（Ω 含的样本点总数）

还有一个更隐蔽的坑：等可能必须落在「样本点」上，而样本空间怎么切是有讲究的。掷两枚均匀硬币，有人把样本空间切成三块：{两正}、{一正一反}、{两反}，然后说「一正一反」的概率是 1/3——错了。因为这三块不等可能：「一正一反」里其实装着两个等可能结果（第一正第二反、第一反第二正）。正确切法是 {正正, 正反, 反正, 反反} 四个样本点各占 1/4，于是 P(一正一反) = 2/4 = 1/2。结论：切分样本空间时，每一块都必须由物理对称性背书，切粗了就会把不等可能的块当成等可能。

于是，古典概型的计算问题，就变成了「数数」问题：数清 Ω 里有多少样本点，数清 A 里有多少样本点。数得准不准，全看后面两节的计数工具用得好不好。

工程应用：抽样检验正是古典概型在制造业里的日常形态——从一批紧固件、一批密封圈中随机抽取若干件判定整批接收或拒收，「随机」二字就是为了让每个组合等可能，从而让抽检结论具有可计算的风险水平（接收概率）。质量控制课程里的「抽样方案特性曲线」，底层全是这一节的组合计算。只要「随机化」做得干净，古典概型给出的就是精确的、不容争议的概率。

最后留一个伏笔：既然「等可能」是建模时的一次选择，它选得对不对，终究要拿事实来核——办法就是长期重复试验看频率是否稳定在算出的概率附近。掷一枚均匀硬币，P(正面)=1/2 是模型给的结论；掷一万次、十万次，正面出现的频率是否真的贴近 1/2，就是对模型的事后检验。「频率稳定于概率」的严格版本叫大数定律，第 12 章正式讲。现在只需记住：古典概型负责「算」，频率负责「验」，两条腿走路。

2.2数数工具：加法原理与乘法原理

数数看似简单，但「数」到复杂情况就会出错。数学里有两个最底层的数数原理，一切排列组合都从它们来。

加法原理（分类计数）

如果做一件事有 k 类互不重叠的办法：第 1 类有 m₁ 种，第 2 类有 m₂ 种，……第 k 类有 m_k 种，那么完成这件事共有：

m₁ + m₂ + … + m_k 种办法。

直觉：分类要相加。比如从甲地到乙地，可以坐 3 趟火车、2 趟汽车、1 趟飞机，那共有 3 + 2 + 1 = 6 种走法（互不重叠，加在一起）。

乘法原理（分步计数）

如果做一件事要依次分几步完成：第 1 步有 m₁ 种，第 2 步有 m₂ 种，……第 k 步有 m_k 种，那么完成整件事共有：

m₁ × m₂ × … × m_k 种办法。

直觉：分步要相乘。比如从甲到乙有 3 条路，乙到丙有 4 条路，那么甲到丙共有 3 × 4 = 12 条路线。

乘法原理也有一个容易被忽略的前提：每一步的选择数，不能依赖前面具体选了什么。若第二步的选项个数随第一步的实际选择而变，「一路相乘」就会出错。例：走 A 路进山有 3 条岔道可到营地，走 B 路进山只有 2 条岔道可到营地，先在 A、B 两条进山路里任选其一——营地路线不是 3×2=6 条，而要分类相加：3+2=5 条。判断口诀：「换成谁去做，选项一样多」才能乘；「选项因人而异」就拆开加。概率论里处理这种依赖关系的标准工具是下一章的概率树——在树上每条分支单独标概率，就不会被「平均选项数」骗到。

还有一个工程式的习惯值得现在养成：数目不大时，直接枚举兜底。加法、乘法原理都是「不重不漏」地压缩枚举的捷径，压错了还不如老老实实列清单——3 人分房总共 4³ = 64 个样本点，完全列得出来；算出新结果后抽查几条路径是否在清单里，能立刻发现重复或遗漏。原理负责效率，枚举负责验证，两者配合才是稳健的计数。

2.3排列与组合

有了加法、乘法原理，就能推出排列与组合的公式。这是古典概型的「军火库」。

排列：顺序重要

从 n 个不同元素中，按一定顺序取出 k 个排成一列（k ≤ n），称为一个排列。不同的排列数记作 A(n, k)（也写作 P(n, k)）。

推导：把它看成分步过程——第 1 个位置有 n 种选法，第 2 个位置（不能重复）剩 n−1 种，第 3 个剩 n−2 种……第 k 个位置剩 n−k+1 种。由乘法原理：

A(n, k) = n × (n−1) × (n−2) × … × (n−k+1)

当 k = n 时（全排列），A(n, n) = n × (n−1) × … × 2 × 1 = n!（读「n 的阶乘」）。

这里有一个必须接受的约定：0! = 1。它不是硬凑的，而有两条自然理由：其一，A(n,0) 表示「一个都不取」，显然只有一种取法（什么都不做），而 A(n,0) = n!/(n−0)! = n!/n! = 1，反推 0! 必须等于 1；其二，阶乘本质是「连乘」，零项连乘的约定值是乘法单位元 1（空积为 1），就像零个数相加是 0 一样自然。由它立刻得到 C(n,0) = C(n,n) = 1：一个都不选、或全都选上，都只有一种结果。

组合：顺序不重要

从 n 个不同元素中，不区分顺序地取出 k 个，称为一个组合。组合数记作 C(n, k)（读「从 n 中取 k 个」）。

推导：先算排列 A(n, k)——它是「先选出 k 个、再把它们排顺序」两步。选出 k 个的组合数是 C(n, k)，排这 k 个的顺序有 k! 种。由乘法原理：

A(n, k) = C(n, k) × k!　⟹　C(n, k) = A(n, k) ⁄ k! = n! ⁄ [k! (n−k)!]

组合数还有一个极常用的对称恒等式：C(n, k) = C(n, n−k)。道理很直白——「选出 k 个」与「剩下 n−k 个」一一对应：每说出一种选法，就自动说出一种剩法，反之亦然。于是 C(10,7) 不必硬展开 10!/(7!·3!)，直接写 C(10,3) = 120；C(100,98) 就是 C(100,2) = 4950。遇到「取一大半」的组合数，先翻成「取一小半」，是省力又少错的习惯。验证：C(10,7) = C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120 ✓。

这张表还暗藏两条规律：每行左右对称（C(n,k) = C(n,n−k) 的直观体现）；相邻两数相加得到下一行的数——「C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)」，即帕斯卡三角，它正是「第 n 个元素选或不选」的分类讨论。背熟小规模数值，能在考场上省去展开阶乘的时间，也为心算检验提供参照。

2.4古典概型的经典例题

理论通了，我们来做几道「立规矩」的经典题。注意体会：每一步都在数 Ω 和 A 的样本点数，且每个样本点必须等可能。

这三类模型的分野，本质上是「元素能否重复占用同一容器」「取出是否放回」「是否要求一一对应」三个开关的不同组合。拿到题先判断自己落在哪个模型里，再动手数，能避开古典概型里八成的错。下面把分房与配对各做一道完整例题（抽球模型原文例 3 已经演示过）。

例 1：抽签公平吗？（不放回抽样）

10 根签里有 1 根中奖，10 个人依次各抽 1 根、不放回。问：第 1 个抽和第 2 个抽，中奖概率一样吗？

直觉上很多人觉得「先抽占便宜」。我们用古典概型算清楚。把 10 根签看作 10 个位置（谁抽第几根）。第 1 人中奖的概率显然是 1/10。

第 2 人中奖：等价于「中奖签落在第 2 个位置」。10 根签放 10 个位置，是全排列，共 10! 种等可能放法。中奖签固定在第 2 位时，其余 9 根任意排列，共 9! 种。所以：

P(第 2 人中奖) = 9! ⁄ 10! = 1/10

一样！事实上第 k 个人抽中的概率都是 1/10。抽签的先后顺序不影响公平性——这是概率论里一个漂亮又反直觉的结论。

例 2：生日问题（放回抽样）

一个房间里有 23 个人，至少有两人同一天生日的概率是多少？（假设一年 365 天，每天等可能，忽略 2 月 29 日。）

先算反面：23 个人生日全不同的概率。第 1 个人随便哪天（365 种），第 2 人不能和第 1 人同天（364 种），第 3 人剩 363 种……总样本点数 = 365²³（每个人都有 365 种），全不同的样本点数 = 365 × 364 × … × 343 = A(365, 23)。于是：

P(至少两人同天) = 1 − A(365, 23) ⁄ 365²³ ≈ 0.507

增长为什么这么快？「同生日对子」的数量随人数按平方级膨胀：n 个人有 C(n,2) 对，23 人就有 253 对，每一对都是一次「撞车机会」。机会按对数而非人数累积，是直觉失灵的根源。工程里同款现象很多：一批产品各自独立地与某条公差线比较，「至少一件超差」的概率随件数平方级抬升——抽样方案必须提前把这种「对数效应」算进去。

例 3：超几何分布的场景（不放回抽球）

袋中有 5 个红球、3 个白球，随机摸出 4 个，求「恰有 2 个红球」的概率。

总样本点 = 从 8 个球中取 4 个的组合数 C(8,4)。有利样本点 = 「从 5 红中取 2 红」×「从 3 白中取 2 白」= C(5,2) × C(3,2)。由等可能：

P = C(5,2)·C(3,2) ⁄ C(8,4) = (10 × 3) ⁄ 70 = 30 ⁄ 70 = 3 ⁄ 7

这个「从两类里分别取」的模型，后面第 8 章会以「超几何分布」的身份正式登场，现在先记住它的数法。

例 4：分房问题（元素可重复入盒）

例 5：配对问题（错排登场）

工程语境：配对模型的影子无处不在——装配线上零件与工位的一一对应、多芯线束插头与插孔的对号入座、传感器通道与采集端子的一一接线。随机状态下「至少一处接错」的概率不是小数，而是稳定在 63% 上下，这正是工程里要用防错设计（钥匙孔、防呆缺口）杜绝随机对接的原因。

2.5几何概型：长度、面积、体积之比

古典概型要求「有限个等可能结果」。但如果结果无穷多呢？比如「向一个正方形内随机扔一个点」，落点有无限种可能，没法用「数数」算了。这时要换一种思路：几何概型。

定义

如果样本空间 Ω 是某个几何区域（线段、平面图形、空间立体），且落在 Ω 内任意等测度的子区域的可能性相等（即「均匀分布」），则事件 A 的概率：

P(A) = μ(A) ⁄ μ(Ω)　（μ 表示长度/面积/体积）

按维度不同，几何概型有三副「量尺」：一维用长度——班车在 0～10 分钟内随机到站，问它在第 1～3 分钟内到的概率，就是 2/10；二维用面积——本章的圆内投点、会面问题都属此类；三维用体积——在混合均匀的容器里随机取一个位置，落点在某子区域内的概率 = 子区域体积 ÷ 总体积。维度升级，思想不变：等可能分配在测度上，概率就是测度比。

这里藏着一个初学者最容易惊讶的事实：在几何概型里，「恰好落在某个指定点」的概率是 0。比如往长度为 1 的线段上随机投点，「恰好落在中点」的概率 = 点的长度（0）÷ 线段长度（1）= 0。但这不代表它不可能发生——落点总得落在某一个点上，而每个点的概率都是 0，无穷多个「概率 0」的可能结果合起来照样能构成正概率乃至必然的事件。所以几何概型逼着我们区分两个概念：「概率为 0」≠「不可能」，「概率为 1」≠「必然」。这条界线在第 7 章讲连续型随机变量时还要正式使用，请现在就把「概率 0 ≠ 不可能」焊进脑子。

经典应用：蒲丰投针

18 世纪法国学者蒲丰（Buffon）提出一个妙题：在画满平行线（间距为 d）的平面上，随机扔一根长为 L（L < d）的针，针与某条线相交的概率是多少？答案是：

P = 2L ⁄ (πd)

这个概率里出现了 π！反过来说，只要大量投针、统计相交频率，就能用随机试验估算圆周率 π——这是「蒙特卡罗方法」（用随机模拟算数学量）的鼻祖，后面第 12 章讲大数定律时你会再次遇到它的思想。

这个公式为什么长这样？粗看一眼它的几何来历：针的位置由两个量决定——针中点到最近一条线的距离 x（在 0 到 d/2 之间均匀分布）与针与线之间的夹角 φ（在 0 到 π/2 之间均匀分布）。「相交」这个事件翻译成不等式，就是 x ≤ (L/2)·cos φ。在 (x, φ) 张成的矩形样本空间里，不等式围出的面积除以矩形总面积，得 P = (L/2) ÷ (πd/4) = 2L/(πd)。你看，「相交条件」被翻译成了一块面积——这是几何概型「把约束画成区域」套路的又一次演出。

经典应用：会面问题

几何概型例题有一个固定套路：把每个连续变量当成一根坐标轴，把约束条件翻译成坐标系里的区域，再算区域之比。看一道流传两百年的名题。