第 12 章　二次型与对称矩阵

12.1什么是二次型

先看一个熟悉的东西——距离的平方。平面上点 (x,y) 到原点的距离平方是：

x² + y²

这是「两个变量各自平方再相加」。再比如：

x² + 4xy + y²

多了一个交叉项 4xy。像这样「只含二次项（平方项和两两交叉项）、不含一次项和常数项」的式子，就叫 二次型（quadratic form）。

一般二元二次型长这样：

f(x, y) = ax² + 2bxy + cy²

（交叉项系数写成 2b，是为了待会儿写矩阵时更整齐。）

为什么数学家偏偏盯住「二次」不放？因为自然界最重要的量几乎都是二次型：弹簧势能 ½kx²、动能 ½mv²、误差平方和、随机变量的方差——它们都是「平方的组合」。一次项描述「匀速变化」，二次项描述「弯曲程度」；要判断一个点附近是碗底还是鞍背，看的正是二阶信息。二次型，就是多元世界里「曲率」与「能量」的统一语言。

交叉项 4xy 又是哪来的？它不是谁故意加进去的，而是坐标轴与形状没有对齐时的必然产物。一个纯椭圆，如果长轴恰好沿坐标轴，方程是干净的 x²/a²+y²/b²=1；把坐标轴斜过来再看，平方项之外立刻冒出交叉项。换句话说：交叉项 = 形状与坐标系的「错位信号」。本章的任务，就是把这层错位重新转正（12.3 节），让形状露出素颜。

维度升级毫无障碍：三元二次型 f = ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz，n 元时平方项 n 个、交叉项 n(n−1)/2 个——全部能塞进一个 n×n 对称矩阵。维数增加、格式不变，这是矩阵语言相对逐项书写的第一重红利。

还有第二重红利：「形状家族」的规模被彻底压缩。表面上，二元二次型有无穷多个（a、b、c 任意取值），但按本章的最终分类，它们的「命运」只有五种：正定（碗）、负定（倒碗）、半正定（平底碗）、半负定（倒平底碗）、不定（马鞍）。无穷多个式子，五种结局——就像生物界百万物种归入寥寥几门。判别工具是如此便宜（两三个数字的正负），信息却是如此本质（整个曲面的骨架），这种「以小博大」正是数学分类学的迷人之处，也是工程师拿到矩阵先问特征值符号的原因。

工程场景：刚体转动的动能是工程里最漂亮的二次型：T = ½ωᵀIω，其中 ω 是角速度向量，I 是 3×3 的惯量张量（一个实对称矩阵）。同样的转速，绕不同轴转，动能不同——「不同方向轻重不一」的各向异性，被惯量矩阵完整打包。它的特征方向叫主惯量轴：绕主轴转动，动力学最干净，发动机转子动平衡的目标正是把旋转轴调到主轴上，抖动自动消失。这个例子提前剧透了本章的全部主角：对称矩阵、特征方向、主轴。

顺带解释一下「张量」这个吓人的词：在「惯量张量」「应力张量」这类语境里，它说的就是「一个随坐标旋转而按规则变换的矩阵」。三维刚体的惯量张量，本质是一个 3×3 对称矩阵；换一套坐标系，矩阵数字跟着变，但特征值（主惯量）与特征方向（主轴）不变——「张量的不变量」，翻译过来就是「特征值不随坐标换装而变」。第 11 章说特征值是变换的「指纹」，在这里得到最物理的印证：换观察角度，指纹不变。

顺带一段小史：二次型研究始于解析几何——19 世纪数学家给二次曲线分类（椭圆/双曲线/抛物线），发现分类的关键全在「某个二次式的符号」上；西尔维斯特（Sylvester）由此提出惯性定理，柯西给出正定判据。今天机器学习里的损失曲面、结构力学里的应变能，用的仍是当年为圆锥曲线发明的同一套语言。

本章的行军路线只有三步，先挂出来：表示（12.2，把式子译成矩阵）→ 化简（12.3，转正坐标消交叉项）→ 定性（12.4，看特征值符号判形状）。三步走完，二次型从一团含糊的多项式，变成一张特征值签发的「形状证书」。后面每一节都在这张路线图上，走到哪一步、为什么走，随时抬头对照。

「齐次」还送了一份免费的礼物：把变量整体放大 k 倍，f(kx, ky) = k²f(x, y)——函数值按平方缩放。推论是所有等高线彼此相似：f=1、f=4、f=9 的等高线是同形状不同大小的同心副本，碗是「自相似」的。这解释了为什么二次型不含常数项也不亏——研究清楚 f=1 这一张等高线，全部尺寸的等高线自动到手；也预告了后面「半轴 √(c/λ)」公式的来历：c 只管缩放，形状由特征值独裁。

12.2二次型的矩阵表示

二次型可以用矩阵「翻译」出来。把变量写成一列 x=(x, y)，则：

f = xᵀ A x

其中 A 是对称矩阵。具体对应关系是：

ax² + 2bxy + cy²　↔　A = [[a, b], [b, c]]

规律很好记：

• 对角线上放平方项系数 a、c；
• 交叉项系数 2b 对半分，b 放到两个非对角位置（对称）。

验证一下：展开 xᵀAx = (x, y)·[[a,b],[b,c]]·(x,y)ᵀ = ax² + bxy + byx + cy² = ax² + 2bxy + cy²，正好对上。

一个值得追问的细节：为什么非要「对半分」、非要对称？同一个 f = ax²+2bxy+cy² 其实有无穷多种写法：把交叉项拆成 b₁+b₂=2b，则 [[a,b₁],[b₂,c]] 与 [[a,b₂],[b₁,c]]……随便怎么拆都能展开出同一个 f——表示不唯一，都是「冗余外衣」。但其中只有一种拆法天生对称（b₁=b₂=b）。约定取对称，等于从无穷件外衣里挑出唯一一件标准制服：此后「二次型 ↔ 对称矩阵」严格一一对应，讨论才有唯一性。数学里许多「规定」，本质都是在给不唯一的东西立规矩。

xᵀAx 的计算顺序也点一下：先算中间的 Ax（矩阵乘列向量，得新列向量），再用 xᵀ 左点乘它（行向量乘列向量，得一个数）。两次乘法、一气呵成，最终结果永远是一个标量——二次型是把整个向量「压缩成一个数」的机器。用数值库实现只需一行：f = x @ A @ x，写代码时注意 A 必须先对称化（不对称时先做 A ← (A+Aᵀ)/2），否则同一式子会算出与手算不同的值。

回头再看老朋友：距离平方 |x|² = xᵀx，其中 I 是单位矩阵——原来「距离」本身就是最古老的二次型，只不过它的矩阵 I 各方向一视同仁（各向同性），等高线是标准圆。一旦矩阵换成非单位对称阵，各方向待遇分化，圆被拉成斜椭圆——本章研究的，正是「距离」的各向异性推广。内积、范数、二次型，三个词说的是同一族东西：xᵀAx 是 xᵀ（Ay）里两个 x 取同一个向量时的特例。

再领一张连接微积分的通行证：f = xᵀAx 的梯度是 ∇f = 2Ax（A 对称时）。手算验证：f = ax²+2bxy+cy² 的两个偏导是 2ax+2by 与 2bx+2cy，拼起来正是 2A·(x,y)ᵀ。这条公式把两件事接通：找等高线的法向（梯度方向）= 求 Ax；而 12.5 节的牛顿法解 HΔ=−∇g，本质是在二次型的世界里「一步解到谷底」——因为对二次型本身，泰勒展开是精确的，不存在近似误差。

工程场景：测量数据处理里的加权误差平方和 E = eᵀWe 正是一个二次型：e 是残差向量，W 是权重矩阵（对角放各通道精度、非对角放通道间相关性），W 对称半正定保证「误差能量」不为负。最小二乘、卡尔曼滤波的代价函数全是这个形状——你以后每写一个 loss，背后都是一个对称矩阵在悄悄定形。

12.3对称矩阵与谱定理

二次型对应的是对称矩阵（A = Aᵀ）。对称矩阵有一系列「特权」，最著名的是 谱定理（spectral theorem）：

这意味着两件好事：

1. 特征值不会冒出复数，几何上永远「真实」；
2. 特征向量两两垂直，能组成一套完美正交的新坐标系——正是第 10、11 章反复铺垫的「好基」。

用这套正交基做正交变换，可以把二次型里的交叉项全部消掉，化成纯平方和：

f = λ₁ x'² + λ₂ y'²

其中 λ₁、λ₂ 是 A 的两个特征值。这个过程叫「化二次型为标准形」，几何上叫「转正坐标轴」——把坐标轴转到特征向量的方向上。

谱定理还有第三种写法，把第 11 章的对角化「白赚」一笔：A = QΛQᵀ。其中 Q 的列是单位正交特征向量，Λ 是特征值排成的对角阵。对照第 11 章的一般对角化 A=PDP⁻¹：对称时 P⁻¹ 自动等于 Pᵀ——求逆的活儿被「转置」白送了，数值计算里这不仅是省事，更是稳定性（正交矩阵不放大误差）。谱定理 = 对称矩阵版的对角化 + 白送的正交性。

「正交」这份赠品也有两行就能看完的来路（不同特征值的情形）：设 Av₁=λ₁v₁、Av₂=λ₂v₂。由对称性 A=Aᵀ，有 λ₁(v₁ᵀv₂) = (Av₁)ᵀv₂ = v₁ᵀAᵀv₂ = v₁ᵀ(Av₂) = λ₂(v₁ᵀv₂)，移项得 (λ₁−λ₂)(v₁ᵀv₂) = 0。λ₁≠λ₂，只能 v₁ᵀv₂ = 0——垂直是被对称性逼出来的。实数性也早有伏笔：第 11 章算过实对称矩阵的判别式 (a−d)²+4b² ≥ 0，根必实。谱定理不是天降神迹，是「对称」这个约束一条条兑现的承诺。

为什么「正交变换」消交叉项却不改变形状？因为正交变换保长度、保角度、保面积——它是旋转镜头，不是变形镜头。等高线椭圆在正交变换下只是整体转了个角度，长短轴、胖瘦、面积分毫不变；变掉的只是「坐标读数」。所以「化标准形」不是篡改数据，而是找到那组让式子最简洁的观察角度。

化标准形还有一条更朴素的路线——配方法：像中学那样把平方项配完整，再用变量替换收尾。它的优点是完全不碰特征值，纸笔就能做；代价是替换一般不是正交的，标准形系数也不再是特征值。但两条路给出的「正负号个数」永远一致——这就是惯性定理：无论怎么化，正系数个数（正惯性指数）与负系数个数（负惯性指数）不变。符号是形状的骨相，配方怎么配都换不掉。

把惯性定理说得更精确些：标准形的正系数个数（正惯性指数 p）与负系数个数（负惯性指数 q）是二次型的不变量——不管用配方、正交替换还是任何可逆替换去化，(p, q) 永远相同。正交法算出的特征值里，恰好有 p 个正、q 个负，两套方法在符号层面自动会师。数对 (p, q) 连同维数 n 被合称二次型的签名（signature）：n 维二次型按签名分完类，每类的形状命运（碗/倒碗/马鞍/躺平）就全部锁定。分类完成，剩下只是坐标花活。

把两法做成「考场操作卡」：配方法四步——① 选一个平方项不为零的变量开头配方；② 交叉项随配方吸收进完全平方；③ 定义新变量（替换要可逆：能反解回旧变量）；④ 剩余项重复直到无交叉项。正交法五步——① 写对称阵；② 解特征方程；③ 求特征向量并单位化；④ 按列拼正交阵 Q；⑤ 标准形系数按序放特征值。题目若说「用正交变换」就只能走五步路；只问「正负惯性指数」则四步快刀最省时。

工程场景：发动机转子做动平衡时，工程师实测「转轴抖动最小的方向」——那正是惯量矩阵的主轴方向；理论计算则是对 3×3 惯量矩阵做谱分解：特征向量给出主轴的空间姿态，特征值给出绕各主轴的转动惯量。装配图纸上标注的「主惯量轴」，翻译成线性代数就是一句 A=QΛQᵀ。同样的语言也出现在各向异性材料的刚度矩阵上：碳纤维铺层不同方向的刚度差异，用主刚度方向（特征向量）+主刚度值（特征值）描述最经济——材料供应商给的「主轴工程常数」，背后就是一道谱分解题。

12.4正定、负定与不定

化成标准形后，二次型的「形状」一目了然，由特征值的正负决定：

判定正定有快捷法：A 的全部特征值 > 0。或者用「顺序主子式全正」（更繁琐，可不记）。对二阶，正定等价于 a>0 且 det(A)=ac−b²>0。

顺序主子式判据值得展开一句，它是不想解特征值时的官方快刀。左上角 1×1 子块叫一阶顺序主子式（就是 a），左上角 2×2 子块（对二阶矩阵而言就是整个 det A）叫二阶顺序主子式。西尔维斯特判据：对称矩阵正定 ⟺ 全部顺序主子式严格为正。对 2×2 就是两句话：a>0 且 det A>0。它的漂亮之处在于「层层把关」：一阶管「x 方向开口向上」，二阶管「合围成碗」，每加一阶就多锁一层——n 阶矩阵要 n 道检查全过。负定的判据是对偶的：−A 正定 ⟺ A 负定（倒碗的每个剖面都是碗，翻个面而已）。

正定这个性质「一义多表」，五句话彼此等价，工程文献随机切换：① 特征值全正；② 顺序主子式全正；③ 对任意非零 x 有 xᵀAx>0（定义）；④ 存在列满秩矩阵 B 使 A=BᵀB（能量可拆成「平方和」）；⑤ 消元主元全正（高斯消元一路不翻车）。五条通道任选一条走到「全正」都是正定。其中 ④ 在数值计算里最受欢迎：正定矩阵必有唯一的 Cholesky 分解 A=LLᵀ（L 是下三角、对角线全正），解正定方程组的专用快速算法都以它为地基——「正定」在软件里几乎就是「好解」的同义词。

正定家族的「家规」也值得一提：正定阵相加仍正定（碗叠碗，只会更深）；正定阵求逆仍正定（特征值取倒数，全正不变）；正定阵乘正数仍正定；但两个正定阵相乘一般会出局——AB 通常不再对称，连「入场的对称性」都丢了（除非它俩可交换）。结构分析里把单元刚度矩阵层层叠加成总刚阵仍然正定，靠的正是「加法封闭」这条家规；而「刚度阵×质量阵」这类乘积组合则要先做对称化处理才能用谱定理——家规内自由，家规外先办手续。

负定顺手验一刀：f = −x²−4xy−y² 是负定吗？先翻面：−f = x²+4xy+y²，矩阵 [[1,2],[2,1]] 的 det=−3<0，−f 不定——所以 f 也不定（倒过来的马鞍还是马鞍，只是「上坡方向」与「下坡方向」互换）。这个反例的教训：「整体加个负号」不改变定性结构，正定翻面变负定、不定翻面还是不定；想用「符号全负」判负定，必须每个特征值逐一为负，靠肉眼扫描系数符号是靠不住的。

椭圆的「胖瘦」还藏着一个数值计算的关键量：两特征值之比 λ_max/λ_min 叫条件数（二阶情形）。例题 3 的矩阵条件数 9/4=2.25，等高线接近正圆——「良态」，各方向待遇均匀；若条件数达到 10⁸，等高线是极细长的针尖椭圆，某个方向极陡而另一方向几乎平地——「病态」，计算误差会被陡方向放大到淹没缓方向的信号。工程里判断一个方程组「好不好解」，先看它的条件数：椭圆越圆，世界越友好。

升到三维看一眼图鉴（等高面 f=c 的分类，特征值符号是唯一裁决）：三个全正 → 椭球面（三维碗）；两正一负 → 单叶双曲面（马鞍的立体版，连通的「喇叭」）；一正两负 → 双叶双曲面（两瓣分开的碗）；含零 → 退化（柱面、锥面）。工程测量报告里「误差椭球」的胖瘦长扁、结构分析里「失稳模态」从椭球翻成双曲的瞬间，用的都是这张特征值符号图鉴——「线性代数帮几何分类」的最终话事权，握在特征值手里。

工程场景：测量误差椭球是正定性的教科书现场：多通道传感器的误差协方差矩阵 Σ 对称半正定，等概率面 uᵀΣ⁻¹u=c 是一个椭球——三根主轴沿 Σ 的特征向量，半轴长与特征值平方根成正比。误差报告里的「长棒状误差椭球」翻译过来：两个特征值接近（圆截面）+ 一个明显偏小（长轴方向精度差）。结构的刚度各向异性同理：节点刚度矩阵 K 正定时，任何位移都储存正应变能 U=½uᵀKu（有支撑、有回弹力）；K 的特征向量是「主刚度方向」、特征值是主刚度——某方向特征值小，结构在那个方向「软」，变形会自发集中到那里。「椭球」与「各向异性」，一个图形两个行当，共享同一套特征值语言。

12.5二次型的应用

二次型和正定性，是许多领域的「通用语言」：

最直观的是极值判定：函数 f(x,y) 在某点的「凹凸」，由它的二阶导数组成的 Hessian 矩阵（一个对称矩阵）决定。Hessian 正定，说明附近像一个「碗底」，是极小值点——这和二元二次型「正定 = 碗」的几何完全一致。

既然 Hessian 告诉了曲面的「局部二次型」，就能反过来利用它：牛顿法在当前点把曲面近似成二次型，直接解 HΔ = −∇g 找「近似碗的最低点」，一步跳到位——正定 Hessian 保证这一步方向必是下坡。梯度下降则只看一阶信息（梯度），沿「最陡下坡」小步挪动，遇到细长椭圆形等高线（条件数大）就会来回锯齿。两者对比再次验证本章主线：知道特征值（曲率）的人，走得又快又稳；只知道方向（梯度）的人，在病态地形里绕远路。

机器学习把这套几何用到了极致：损失函数在每个参数点附近都近似一个二次型，Hessian 的特征值就是曲面的「曲率谱」。训练算法的步长上限由最大特征值决定——步子迈得比 1/λ_max 更大，就会从碗壁「跳过碗沿」发散；而收敛速度由最小特征值决定——缓方向爬得慢，损失曲线后期「越长越平」。所谓「调学习率」，本质上是在跟特征值打交道。凸优化的定义「Hessian 处处半正定」则保证整个曲面没有任何一处是倒扣的——局部极小就是全局极小，优化问题从「寻宝」降级成「下坡」。

统计学里方差也是二次型：随机向量 X 的协方差矩阵 Σ 对称半正定，任意权重组合 wᵀX 的方差是 Var = wᵀΣw——「组合的风险」是权重上的二次型。风险最小化（投资组合、传感器融合加权）就是在这张二次曲面上找最低点；「有效前沿」的形状、最优权重落在哪个方向，全部由 Σ 的特征值与特征向量（主成分）发牌。最小方差组合往往把大头押在小特征值方向——风险低的方向，恰是「变化最慢」的方向。一份概率语言写的二次型，骨架与本章碗面完全同构。

最小二乘也在此还愿：第 5 章正规方程的系数矩阵 AᵀA 天生对称半正定——对任意 v，vᵀAᵀAv=(Av)ᵀ(Av)=|Av|²≥0。当 A 列满秩时 Av≠0（核里只有零向量），严格正定，正规方程有唯一解；若 A 有冗余列（相关性特征），AᵀA 半正定，解变成一族——「共线特征让回归失稳」，病根在零特征值。第 5 章的现象、第 10 章的核、本章的正定性，三线在此收拢成一句话。

最后是能量的视角：振动系统的总能量 E = ½ẋᵀMẋ + ½xᵀKx——两项都是二次型，M（质量）与 K（刚度）都对称正定。能量恒正、沿轨迹守恒，系统的运动就是「在碗壁上无摩擦滑行」；若 K 失去正定（某特征值变负，受压结构失稳），碗底翻成马鞍，位移自发增大——屈曲失稳的数学判据，正是刚度矩阵「丢正定」的那一刻。稳定性、能量、正定性，三个词说的是同一件事。

终点站到了，往后的车票也预告一下：数值线性代数（QR 分解、奇异值分解 SVD、Cholesky——把本章的「正定=好解」工程化）；凸优化（半正定是凸性的代数底座）；矩阵论与泛函（把有限维直觉推向无穷维）。你会发现这三张车票上印的都是同一串站名：特征值、正定性、谱分解——本章学的是它们最朴素的二维版本，而二维版本里的每一个直觉，都原样有效。

收卷前把全书概念在特征值上「点名」一次：第 8 章的行列式 = 特征值之积；第 9 章的秩 = 非零特征值个数（可对角化时）；第 10 章的核 = 零特征值的特征子空间、复合变换 = 特征值相乘；第 11 章的谱 = 特征值全家福；本章的正定性 = 特征值符号。一支笔从第 1 章画到第 12 章，所有线索在特征值处收束——这就是为什么教材把特征值安排在倒数第二章：它不是又一个新概念，而是前面所有概念的会师点。