第 4 章　扭转

4.1扭转的概念与扭矩

杆件在一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于轴线的力偶作用下，各横截面绕轴线发生相对转动，这种变形叫扭转。工程中最典型的扭转构件是传动轴——它传递的就是一个「旋转的力矩」。

定义里「作用面垂直于轴线」这个条件不可省略，理由与第 2 章「外力必须与轴线重合」如出一辙：一对反向力偶若作用面不垂直于轴线，分解之后除了绕轴线的扭转分量，还会剩下一对让杆「偏头弯」的弯曲分量——杆就进入弯扭组合变形（第 10 章处理）。「纯扭」和「纯拉压」一样，是干净的基本变形模式：横截面上只有一种内力——扭矩，没有轴力、没有弯矩、没有剪力。

工程语境里也补一句：本章讨论的都是等直圆截面杆的 free twist（自由扭转）——杆的两端不加任何横向约束，截面可以自由翘曲。如果轴上有键槽、法兰、轴肩这些限制截面变形的构造（工程上叫「约束扭转」），薄壁轴还会出现附加的正应力与弯曲，那是薄壁结构力学的话题，本章公式用于粗实心轴时不受影响。航空结构中的扭转构件随处可见：舵面操纵的扭力管、起落架的转向套管、发动机的功率输出轴、直升机尾传动轴——凡是「把旋转力矩从一端送到另一端」的构件，都归本章管。

建立直觉可以从拧毛巾开始：双手反向一拧，毛巾的「横截面」彼此错动，水被绞出来——这就是扭转的本质画面。螺丝刀拧螺丝、钻头钻孔、钥匙开锁，都是「两端加反向力偶、中间传递扭矩」的场景；汽车与机床里的传动轴更是把功率从头端「拧」到尾端。观察图 4-1 的细节：纵向线倾斜了，但没有伸长或缩短——这一眼观察后面藏着「横截面上没有正应力」的全部线索。扭转在四大基本变形里排第三位（拉压、剪切、扭转、弯曲），它的分析套路是四个里最完整的：从实验观察出发，几何、物理、静力三步齐上，把应力分布「推」出来而不是「猜」出来——学会这一套，第 6 章弯曲正应力的推导就是重温。

用截面法在轴的某截面切开，截面上那个「抵抗扭转」的内力偶矩，叫扭矩，记作 T。扭矩的正负用右手螺旋法则判断：右手四指沿扭矩的旋转方向弯曲，若拇指指向截面外法线方向（即背离截面）则为正，指向截面内则为负。

从功率到扭矩：9549 的来历

传动轴的荷载通常不直接给力偶，而是给「功率和转速」——发动机铭牌写的是千瓦，电动机写的是 kW 和 r/min，于是换算成了必修课。物理源头是功率的基本定义 P = T·ω（扭矩 × 角速度）。角速度与转速的关系是 ω = 2πn/60（rad/s），其中 n 是每分钟转数。代入并整理：

功率 P 取 W、转速 n 取 r/min 时，T 的单位是 N·m；工程上习惯功率用 kW（1 kW = 1000 W），系数随之放大一千倍：

9549 就是 60 000/(2π) 的近似值（不少手册写作 9550，同一家族）。这个小公式是机械设计的「硬通货」：电动机 4 kW、1440 r/min，输出扭矩 ≈ 9549×4÷1440 ≈ 26.5 N·m——张口就能报出数。它还揭示一个重要规律：同样功率下，转速越高、扭矩越小——这正是减速器存在的理由：把高转速「换算」成大扭矩，用小尺寸轴传大功率。

再认识一下本章的「变形主角」——扭转角 φ：轴的两个横截面绕轴线相对转过的角度。它衡量的是「截面彼此错开了多少」，单位是弧度（工程口语也说「度」）。注意 φ 一定是相对量：单说「某截面转了 3°」没有意义，必须指明相对哪个截面；好比拉压里伸长量 Δl 是两端位移之差。两截面相距越远、扭矩越大，相对转角越大——这个量到 4.7 节会被写成精确公式 φ=Tl/(GI_p)，与拉压的 Δl=Nl/(EA) 遥相呼应。

开列本章要回答的两个基本问题，先给个总览：强度问题——扭矩在横截面上引起多大的切应力，会不会把轴扭坏（4.4~4.6 节）；刚度问题——轴被扭过多少角度，变形是否影响机器精度与振动（4.7 节）。两个问题的答案最后汇成两条并行的设计条件：τ_max≤[τ] 与 θ≤[θ]。留意它们与第 2 章拉压的「σ≤[σ] 与变形控制」如何一一对应——材料力学讲完拉压再讲扭转，正是要让你体会这套「应力—强度、变形—刚度」双轨框架的可迁移性。

4.2扭矩图

像轴力图一样，把扭矩沿轴长的变化画成图，就是扭矩图。做法完全相同：逐段用截面法求扭矩，正值画上方、负值画下方。扭矩图能一眼看出「哪一段轴被拧得最狠」，也就是最危险截面所在。

画法上，扭矩图与第 2 章的轴力图是同一套逻辑换了主角：集中力偶作用点处扭矩图突变，幅度等于该力偶矩的大小；两个力偶之间扭矩是常数（水平线）。计算每个截面的扭矩，同样可以用「一侧外力偶的代数和」——只是力偶要按右手螺旋先定正负。与轴力图相比，扭矩图还有个实用差别：轴的两端通常都伸出自由端（没有「固定端」），所以图的起点终点都自然归零，算错力偶矩或忘了某个轮子，图上一眼就能看穿（图不闭合）。另外，传动轴上的轮子往往不止一个，扭矩图分好几段——逐段取截面、按一侧外力偶代数和列算式，比逐个轮子画受力图快得多。

扭矩图还有一个只在扭转里才突出的布置问题：同样的几个轮子、同样的功率，装在轴的哪个位置，扭矩图完全不同。主动轮（输入功率的轮）装在轴端，全部功率要挤过相邻一段轴；装在中间，左右两侧各分担一部分，峰值扭矩反而最小。减速器设计里「输入齿轮居中、输出齿轮对称布置」的惯例，理论根据就在这里。下面这道例题把功率换算、扭矩图和布置优化串成一条线。

把例题 1 的套路抽象成一张「传动轴设计流程卡」，后面所有扭转题都是它的变体：① 铭牌读功率与转速 → ② 用 9549 换算成各轮力偶（校核 Σm=0）→ ③ 画扭矩图、找 |T|_max → ④ 用危险截面扭矩做强度、刚度双校核 → ⑤ 不满足则调尺寸（或调布置、调材料）回到 ③。其中第 ③ 步的「危险截面」意识要贯穿始终：扭矩图只给出内力最大处，若轴上有键槽、孔、轴肩，危险点还可能出现在截面削弱处——内力图与截面几何两者叠加才能锁定真正的薄弱点。

4.3切应力互等定理

在讲切应力分布前，必须先建立一个基础定理。从扭转的轴里，假想切出一个微小的单元体（边长都极小的正方块）。这个单元体上，如果横截面上有切应力 τ，那么：

为什么必然成对？可以用平衡来解释：假想这个单元体某侧面上有切应力，而另一垂直面上没有。对单元体取力矩平衡会发现不平衡——切应力会产生力矩，若不成对出现，这个微小单元体就会自己转起来，这违背了「静止/平衡」的事实。所以切应力必须成对存在，大小相等，才能互相抵消力矩。

这个论证还能定量写出来。取边长 dx×dy×dz 的正六面微元，设上、下两个水平面上有切应力 τ（受力面积均为 dx·dz），这对切力等值反向、相距 dy，构成力偶（τ·dx·dz）·dy；左、右侧面上若要平衡，必须出现一对切应力 τ′（面积 dy·dz、力臂 dx），力偶为（τ′·dy·dz）·dx。对单元体取矩平衡：

两边消去公共因子 dx·dy·dz，结论干净利落：两个互相垂直的面上，垂直于公共棱边的切应力必然大小相等、方向共同指向或共同背离该棱边。这就是切应力互等定理的完整表述——它对任何应力状态都成立，不依赖材料、不依赖线弹性，是纯粹的平衡结论，适用范围比胡克定律宽得多。

顺带把「纯剪切状态」这个名词正式立起来：若单元体四个侧面上只有切应力、没有正应力，这种应力状态就叫纯剪切。圆轴扭转时，从轴表层取出的单元体正是纯剪切状态（下一节会看到切应力沿圆周方向作用）。纯剪切与单向拉压一样，是最简单的两种基本应力状态，后面斜截面分析还会与它们反复相遇——比如脆性材料的扭转试件恰恰不沿横截面断，而是沿 ±45° 螺旋面断开，因为那个方向上切应力「换装」成了拉应力（第 3 章讲过 τ 与 σ 的身份互换）。互等定理正是读懂这类破坏形态的钥匙。

再立一个符号小规矩：切应力常用双下标 τ_xy 记——第一个下标 x 表示应力所在面的法线方向，第二个下标 y 表示应力本身的作用方向。按这个记法，互等定理写成 τ_xy = τ_yx：法向 x 的面上的 y 向切应力，与法向 y 的面上的 x 向切应力，永远等值成对。这套记号眼下显得繁琐，到第 8 章应力状态分析时会成为主力工具——普通应力分量 σ_x、τ_xy、τ_xz… 一共九个分量撑起整个应力张量，扭转与拉压只是它的两个最简特例。

这个定理的重要意义：它说明扭转时，不但横截面上有切应力，纵向截面上也有同样大小的切应力。这就解释了后面一个著名现象——木杆受扭时，会沿纵向开裂（木材顺纹抗剪最弱，纵向切应力先把木纤维撕开）。

互等定理的价值不止于解释破坏方向——它直接改变某些构件的强度计算结论。最典型的是各向异性材料：木材横纹、顺纹抗剪强度可相差一倍，胶层与复合材料的层间强度远低于面内强度，这时「沿哪个面破坏」就从口头解释变成了定量控制条件。

4.4圆轴扭转的切应力分布

现在进入本章核心：圆轴受扭时，横截面上的切应力是怎么分布的？答案是「沿半径线性分布，中心为零，表面最大」。这个结论不是猜的，而是从实验和几何一步步推出来的。

第一步：平面假设（实验观察）

在圆轴表面画上一圈圈圆周线和一条条纵向线，然后扭转。观察到：

• 各圆周线仍保持圆形，只是绕轴线转过了一个角度；
• 各圆周线之间距离不变（说明没有轴向拉压）；
• 纵向线都倾斜了同一个角度（说明有剪切变形）。

由此提出平面假设：变形前是平面的横截面，变形后仍是平面，只是像刚体一样绕轴线转了一个角度。

平面假设凭什么成立？根子在圆截面的极对称性：圆截面绕轴转过任意角度，都与原位置完全重合，截面上每个点的「地位」完全相同。既然大家地位相同，变形时就没有哪个点能「特立独行」地凸出来或凹进去——要么全体一起保持平面，要么全体一起鼓成曲面；而「集体鼓包」需要轴向伸长缩短来配合，与「圆周线间距不变」的观察矛盾，所以只能是平面。非圆截面就没这个待遇：矩形杆受扭后，可以在表面观察到原本画好的横向线变成了弧线——横截面发生了翘曲（warping），这是 19 世纪圣维南首先搞清的问题。翘曲一旦出现，平面假设失效，γ=ρφ/l 的几何关系不再成立，本章所有公式对非圆截面全部作废。矩形杆的扭转要用弹性力学的结果查表，应力最大值出现在长边中点而不是「最远的角点」——直觉在这里靠不住。工程上传递大扭矩的轴一律做成圆形（或圆管），方形轴只在小扭矩手动场合出现，原因就在这。

第二步：几何关系——切应变为什么沿半径线性变化

想象截面内有一个半径 ρ 的小圆环，表面有一条纵向线段。截面转过角度 φ 后，这条纵向线发生倾斜。离轴线越远的点，转过的弧长越大（弧长 = 半径 × 转角 = ρ·φ），而纵向线长度不变，所以倾斜角（切应变）γ 正比于半径 ρ：

关键结论：切应变 γ 沿半径从中心到表面线性增大，中心处 ρ=0 所以 γ=0，表面 ρ=R 处 γ 最大。

给这个公式记一笔几何小账：在表面上取一个直角三角形，一条直角边沿纵向线（长 l），另一条直角边是截面转过的弧（长 s=ρφ）。纵向线倾斜后与母线的夹角就是 γ 的小角近似——小变形下 tanγ≈γ，于是 γ = s/l = ρφ/l。注意分子是「弧长」而不是「弦长」，因为截面转的是角度；而 γ 用弧度（直角改变量本身无量纲）。公式里 l 是两截面间距，φ 是这两个截面的相对转角——单看一个截面转过多少没有意义，就像拉压关心的是两端位移差而非绝对位置。这些小账看似琐碎，却决定了后面单位换算会不会错。

历史认识路径值得一提：先被研究透的是薄壁圆筒。壁很薄时切应力沿壁厚近似均布，对轴心取矩立得 T = 2πr²t·τ，切应力与分布问题被「一步算死」，同时实验发现 T 与 φ 成正比、卸载可恢复，验证了剪切胡克定律。圆轴不过是把无数个半径不同的薄壁筒「套」在一起：每个半径处的筒各有各的切应力，全部加起来（积分）就是实心轴的结果。本章推导虽然直接从平面假设出发，但「薄壁先行、分层积分」的图像同样值得拥有——它让 ∫ρ²dA 里那个平方的来历显得理所当然（每层筒的微扭矩 = τ×2πρ×dρ×ρ，两层 ρ 相乘）。理解了这层，I_p 的积分式就不再需要死记。

第三步：物理关系——由应变到应力

再由剪切胡克定律 τ=Gγ，把切应变乘上切变模量 G，就得到切应力：

所以切应力 τ 也沿半径线性分布：中心为零，表面最大。这就是「越靠外，切应力越大」的物理来源。

还剩最后一个方向问题：截面上某点的切应力朝哪个方向？答案是垂直于半径、沿圆周切向，与截面的转向一致。理由有两层：其一，切应力必须「顺着」剪切变形的方向——该点的剪切变形是纵向线倾斜，发生在圆周切线方向；其二，若切应力有沿半径的分量，它会把材料向轴心压或向外拉，而圆周线既不收缩也不扩张，与观察矛盾。配合互等定理还能再加一层理解：轴表层沿母线取一对平行平面，其上的切应力与横截面上的切应力成对出现——这就是图 4-3 里单元体的样子。把「方向垂直于半径」记牢，后面画应力状态图时就不会把箭头画歪。

4.5切应力公式的完整推导

我们已知道 τ 沿半径线性分布，但还差一个比例系数。这个系数由静力平衡（第四步）确定：截面内所有微元切应力对轴线的力矩之和，必须等于截面上的扭矩 T。

在半径 ρ 处取一个微面积 dA，上面的切应力 τ=G·ρ·φ/l，这个微元切应力对轴线的微力矩是 τ·ρ·dA。全部加起来（积分）等于 T：

其中积分 ∫ ρ²·dA 是一个只与截面形状有关的量，记作极惯性矩 I_p（下标 p 表示 polar，极坐标）。代入后整理，消去 φ/l，最终得到：

这就是圆轴扭转切应力公式。当 ρ 取最大半径 R 时，得到最大切应力：

这里 W_p = I_p/R 叫抗扭截面系数。

公式的适用边界也要交代：推导第三步用了 τ=Gγ，所以 τ = Tρ/I_p 只在线弹性范围成立（τ_max 不超过材料的剪切比例极限）。超过以后表层先屈服，应力分布从线性逐渐「削顶」变平——外缘材料让出应力份额，内层接棒，轴还能继续承担更大扭矩；直到全截面屈服，得到极限扭矩 T_p = 4T_e/3（T_e 为刚开始屈服的弹性极限扭矩）。塑性设计中这三分之一的「免费」承载能力有时会被动用，但本章一律停留在弹性范围，按 τ_max≤[τ] 走，界限务必分清。

值得给 I_p 和 W_p 各补一段「意义解读」。I_p = ∫ρ²dA 的物理意义是截面上所有微面积「到轴距离平方」的加权总和——面积一样大，离轴越远的材料贡献越大，而且是平方级放大：一块移到两倍半径处的材料，抗扭贡献变成四倍。这就是「材料放哪儿」比「放多少」更重要的定量表达，也是空心轴效率的全部来源。它的单位是长度的四次方（mm⁴），是个纯几何量，与材料无关。W_p = I_p/R 则是为「只关心最外缘」而设计的简化：把应力分布线性这一事实用掉，直接给出 τ_max = T/W_p，单位 mm³，与「截面越粗、越能扛扭」的直觉直接挂钩。第 6 章弯曲里会出现同族的 I 与 W（轴惯性矩、抗弯截面系数），定义方式几乎照抄——把「到轴的距离」换成「到中性轴的距离」而已。

4.6极惯性矩与抗扭截面系数

极惯性矩 I_p 由截面积分算出，只取决于截面形状和尺寸。对实心圆截面（直径 d、半径 R）：

对空心圆截面（外径 D、内径 d，令 α=d/D）：

空心轴还有一层工程红利：管内空间本身是资源。飞机的操纵连杆常用薄壁管，中间穿过钢索或线束；起落架的扭力管里走液压管路；机床主轴做成空心好让棒料穿过去加工。一根杆同时承担「传扭—承弯—当通道」三重任务，材料效率翻着番地涨——这是「等重量比刚度」之外，结构设计师偏爱管材的另一个理由。

扭转强度条件：

「空心更划算」可以算得更精细。设 α=d/D，同外径下空心轴的重量比是 (1−α²)、抗扭截面系数比是 (1−α⁴)。取 α=0.8：用 36% 的重量换到 59% 的 W_p——重量效率（W_p/重量）提升 64%。α 越大越「赚」，但有两个天花板：一是壁太薄加工与装配困难（薄壁管易失圆）；二是 α 超过约 0.9 后，管壁会在切应力还远低于 [τ] 时发生局部皱褶失稳（像捏瘪的吸管），强度公式对此无能为力。所以工程空心轴的 α 常控制在 0.6~0.85。

顺带交代 [τ] 从哪来：与第 2 章的拉伸试验对应，材料力学还有扭转试验——标准试件装在扭转试验机上，记录扭矩-扭转角曲线。塑性材料（低碳钢）的 T–φ 曲线与拉伸曲线神似：线性段、屈服台阶、强化段；屈服时扭矩记作 T_s，反推出剪切屈服极限 τ_s。断口形态是最生动的教材：低碳钢试件沿横截面剪断（平断口，因为塑性材料抗剪弱于抗拉），灰铸铁试件却沿约 45° 螺旋面拉断（斜断口，因为脆性材料抗拉弱，而 45° 方向正是切应力换装成最大拉应力的方向）。一根试件的断口倾斜程度，直接暴露材料的性格，这也是判定失效模式的经典证据链。

再看尺寸的杠杆率：W_p∝d³、I_p∝d⁴——直径翻一倍，抗扭能力翻八倍、抗扭刚度翻十六倍。「粗一档，强一片」说的就是这种四次方级杠杆。反过来，直径差一档（比如 60 与 66 mm），承载能力也差出 20% 上下，这就是传动轴尺寸必须精挑的原因。

速查表里能看到 d⁴ 杠杆的直观威力：直径从 60 加到 70（粗 17%），抗扭刚度 I_p 涨了 85%；再从 70 到 80，又涨 71%。工程速算时，记住 W_p(60)≈4.24×10⁴ mm³ 这一个基准点，其余按 (d/60)³ 比例折算即可，误差不到 1%。空心轴则先按外径 D 查表，再乘 (1−α⁴) 打折——先查表、再打折，两步出数，这是工程师案头的标准动作。

工程轴很少等直径直通到底，通常按扭矩图分段选径——扭矩大的区段粗、小的区段细，这就是「等强度」思想的雏形。但每一处直径突变（轴肩）都是应力集中源：台阶圆角处的局部应力可达名义切应力的 1.5~2 倍，而轴的失效绝大多数是疲劳——恰恰对局部应力最敏感。所以轴肩必须用圆角过渡（r 尽量大），关键圆角再配合喷丸、滚压等表面强化工艺，在表层预压应力「垫底」。键槽、横孔、花键同样要在疲劳校核中折算应力集中系数——传动轴设计的功夫一半在力学计算，一半在这些细节的把守上。

4.7扭转变形与刚度条件

除了会不会「扭断」（强度），还得关心轴「扭歪了多少」（刚度）。轴的扭转角 φ 为：

这个公式的结构和拉压变形 Δl=Nl/(EA) 惊人地相似，可以对照记忆：

其中 GI_p 叫抗扭刚度：G 是材料「抗剪的硬」，I_p 是截面「抗扭的形状」，两者越大，同样扭矩下轴转得越少。

刚度计算最容易栽在单位上。θ=T/(GI_p) 用 N·mm、MPa、mm⁴ 这一套算出来的是 rad/mm；而工程许用值 [θ] 的习惯单位是 °/m（度/米）。两者差着两个数量级还跨着弧度制，换算链是：1°/m = (π/180) rad ÷ 1000 mm ≈ 1.745×10⁻⁵ rad/mm。比如 [θ]=0.5°/m 换成 rad/mm 是 8.73×10⁻⁶。忘换算会「刚度凭空差百倍」，这是扭转题最常见的失分点。[θ] 的典型取值也该有个量级感：精密机床主轴 0.25~0.5°/m，一般传动轴 0.5~1°/m，要求不严的轻载轴可放到 2°/m。航空领域对操纵扭力管的限制往往更严——变形直接改变操纵面的响应相位。

还有一个与拉压完全平行的小结论：分段等直轴的总扭转角按代数和叠加——φ=ΣT_il_i/(GI_p,i)，各段用各段的扭矩与 I_p，正负号随扭矩正负。阶梯轴、齿轮箱多级传动轴的变形计算都靠这条叠加原理，它和第 2 章 Δl=ΣN_il_i/(EA_i) 是同一个思想的两次应用。

变形公式还带来一类新问题：扭转静不定。两端固定的轴中间加一个力偶，两个支座各分走多少扭矩？静力平衡只有一个方程（m = T_A + T_B），未知数两个——解不开。出路与第 2 章的拉压静不定一模一样：加变形协调条件。左段扭转角与右段扭转角方向相反、大小相等（两端都被焊死，谁也转不动），即 T_Al₁/(GI_p) = T_Bl₂/(GI_p)，与平衡方程联立即解。「平衡方程不够，变形来凑」这套组合拳在扭转里原样复用，第 9 章还会再见到它的加强版。

工程上常用「单位长度的扭转角」θ 来控制刚度：

传动轴如果扭得太厉害，即使没断，也会引起振动、影响精度，所以既要满足强度条件 τ_max≤[τ]，又要满足刚度条件 θ≤[θ]。