第 11 章　刚体平面运动

11.1平面运动：平动 + 转动的叠加

平面运动指刚体上各点都在互相平行的平面内运动，且各点到某一固定平面的距离不变。轮子沿直线滚动、连杆机构的运动，都是典型例子。

深入一步：什么样的运动才算平面运动

定义里最容易被忽略的字眼是「到固定平面的距离不变」。轮子沿直线滚动时，轮上每一点都在与路面垂直的平面内画自己的轨迹，且始终不离开各自所属的平面；沿墙滑落的直杆、四杆机构里挥舞的连杆、行星轮系里公转加自转的行星轮，都满足同样条件。判断的诀窍：在刚体上找一条垂直于运动平面的直线（如轮子的轴线），这条线上各点的运动完全相同——于是整个三维刚体的运动，可以完全由一个截面图形在自身平面内的运动代表，三维问题就此降为二维问题。

「平动 + 转动」的分解为什么总是可行？在图形上任选一点 O′ 作基点：先让整个图形随 O′ 平移到位，再让图形绕 O′ 转过同样的方位角——两步之后图形与实际位置严丝合缝地重合。这不是近似，而是对平面运动的严格重构：任何瞬时、任何平面运动，都拆得开、也合得拢。

角速度与基点无关：一个重要的「不变量」

选不同的基点，平动部分完全不同——轮心的轨迹是直线，轮缘上一点的轨迹却是摆线。但转动部分与基点选择无关：在图形上固连一条「指标线」，无论基点选 A 还是 B，指标线的方位角 θ(t)、角速度 ω = dθ/dt、角加速度 α = d²θ/dt² 都一样——因为刚体内部任意两条线段的夹角永远不变，所有基点连线都跟着指标线一起转，转角分毫不差。由此得到一条常用结论：ω 与 α 是整个刚体的共同量，写公式时不带基点脚标；只有 v_O′ 这种「基点速度」才是基点的私人属性，必须注明是谁的速度。

工程应用：从车轮转速表到航空轮胎

「最高点速度 = 2 倍轮心速度」不只是趣闻。车辆与飞机的轮速传感器测的是 ω，乘以滚动半径即得地速——这是 ABS 制动与防滑系统的输入量，背后就是 v_C = ωr 一行公式。航空轮胎着陆瞬间从静止被瞬间拖转到与地面同速，接地刹那的磨损与温升是轮胎定寿的关键工况，工程上用「接地速度 = 触地时轮缘线速度与地速之差」来评估打滑程度，分析的第一步同样是轮缘速度分布。沿轮缘一周，速度从接触点的 0 连续变到最高点的 2v_C——平面运动刚体上「速度随到瞬心距离线性分布」这一定性图像，值得印在脑子里。

常见平面运动机构图鉴

把「截面图形 + 平动转动叠加」的眼光带到机构学现场，平面运动无处不在，而且各有各的「截面」：曲柄滑块机构——曲柄是定轴转动（截面圆绕转轴），滑块是直线平动（截面点沿滑道），连杆才是真正的平面运动（截面线段又移又转）；四杆机构——两根连架杆定轴转动，连杆平面运动，速度分析的全部难点都集中在连杆上；滚动件——轮子、滚珠、辊子，截面圆沿直线或圆弧轨道滚动；摆动导杆机构——导杆绕固定轴摆动、滑块沿导杆滑动，两者合成让导杆获得逐点变化的速度分布。分析任何新机构的第一句话永远是：「先给每个构件贴标签——定轴转动？平动？还是平面运动？」三类贴完，每根杆该用哪套公式就自动归位了。

三个辨析小问答：平面运动的判定

问一：钻头绕自身轴匀速旋转，是平面运动吗？不是——各点虽在互相平行的平面内画圆，但这属于定轴转动，是平面运动的退化特例（平动部分恒为零）。判定时先排除更简单的运动形式：能用定轴转动或平动描述的，就不必动用平面运动工具箱。问二：螺旋前进的工件表面一点呢？不是——该点的轨迹是空间螺旋线，不在任何固定平面内（「到固定平面距离不变」的条件被破坏），属于空间运动。问三：沿水平面滚动的圆锥体？各点到水平面的距离在变，一般不是平面运动，要按定点运动分析。一句话总结：先问「有没有一个固定平面，所有点都不离开它」——有，才按平面运动处理；有更简单的退化形式，先退再算。

11.2基点法：选一个「参考点」

在刚体上任选一点作基点（比如圆心），把运动拆成「随基点平动」+「绕基点转动」。刚体上任一点 M 的速度，就等于这两部分速度的矢量相加：

v_M = v_O + v_MO

定理从哪里来：从位置关系到速度关系

设基点 O′ 与所研究的点 M 都固连在刚体上，在静系中两位矢恒满足 r_M = r_O′ + r_O′M。对时间求导：左边是 M 的速度；右边第一项是基点速度；第二项里 r_O′M 的长度永远不变（刚体！）、方向随图形一起转——一个「大小固定、方向旋转」的矢量，其时间导数的大小是 ω·O′M、方向垂直于 O′M、指向转动前进一侧。于是 v_M = v_O′ + v_MO′，基点法公式得来，全程只用了「刚体两点间距不变」这一条本性。

第 10 章的合成运动在这里完全对得上号：把动系固结于基点 O′ 并随其平动，则牵连速度 = v_O′（平动部分），相对速度 = M 绕 O′ 的转动速度（相对轨迹是以 O′ 为心的圆弧），而动系平动意味着 ω_e = 0、科氏项消失——基点法就是合成运动的「平动动系」特例。学过第 10 章的同学可以直接把速度合成定理「翻译」成基点法，一个字都不用改。

其中 v_O 是基点的速度（平动部分），v_MO 是 M 点绕基点 O 转动的速度，大小 v_MO = ω·OM，方向垂直于 OM 连线。

顺带一提：曲柄匀速旋转时，滑块速度近似按简谐规律脉动——这正是活塞式机构输出「脉动扭矩」的几何根源。活塞式发动机将多缸曲拐错开相位排列，就是要削平这种脉动；设计手册里「活塞速度-曲柄转角」曲线，逐点看都是本题的重复演练。

操作清单：基点法五步走

第一步，选基点。在刚体上找速度完全已知的点（铰链处与已知杆相连的点最常见）。第二步，写方程。v_M = v_基点 + v_M基点，第三项方向垂直于连线、大小 ω·基点M 待求。第三步，标方向。把每个已知矢量的方向画在机构图旁——方向信息比大小更宝贵，通常正是靠「方向已知」才能把方程解开。第四步，投影求解。沿两个方便的轴各列一个投影方程，联立解出未知量。第五步，回收 ω。由 ω = v_M基点/基点M 把角速度一并算出，并核对其与基点选择无关——换一个基点再算一遍 ω 应当相同，这是最便宜的自查习惯。

速度三角形：把方程画出来

基点法方程 v_B = v_A + v_BA 本质是一个矢量三角形：从 v_A 箭头的终点再接 v_BA，合成结果就是 v_B。在机构图旁随手画这个小三角形，方向对错一眼看穿——v_B 的箭头必须落在滑道方向上；画完发现落不到滑道上，多半是 v_BA 方向假设反了或 v_A 方向画错。图解时代工程师全靠这个三角形吃饭；今天它仍是投影方程的最好自检——方程是三角形的代数化，三角形是方程的几何化，两条腿走路永远比一条稳。

常见错误四连：基点法排雷清单

错误一：把 v_MO 画成沿 OM 方向。转动速度垂直于半径（OM 连线）；沿连线的速度分量会把刚体拉长或压短，违反刚性。错误二：把「绕基点 A 的角速度」与「绕基点 B 的角速度」当成两个量。ω 与基点无关，换基点重算若得不同的 ω，必有一处算错——这是最便宜的自检手段。错误三：把基点选在刚体之外。基点必须固连于刚体（截面上的一点），刚体之外没有材料，谈不上「随基点平动」。错误四：两个投影方程列在「同解」的方向上。投影轴要与未知量方向错开，最优选择通常是「沿未知分量方向」与「垂直于未知分量方向」各一个。四条清单过一遍，基点法的常见错误能拦掉九成。

工程应用：基点法是「机构运动学」的万能钥匙

四杆机构、曲柄滑块、摆动导杆——一切由低副（转动副、移动副）连接的平面机构，只要画出基点法速度三角形，杆与杆之间的速度就能沿铰链一路传递：铰链处两杆速度相等，天然是「已知点」，选它作下一根杆的基点，未知数立刻减半。飞机的襟翼收放机构、副翼操纵拉杆组、起落架撑杆，本质上都是这类连杆机构，设计中「作动速度、铰链受力、到位缓冲」每一步都从基点法的速度分析开始。

一张对照表：基点法 = 合成运动的平动系特例

对照着看，第 10 章与第 11 章是同一套数学在两个场景下的应用：合成运动的「动系」可以固结于任意运动构件，基点法把动系限制为「随基点平动」，换来公式里不再出现科氏项；反过来，本章的瞬心法，也可以理解为在刚体上「寻找一个瞬时牵连速度为零的几何位置」。把这两章串成一条线，速度分析的整套理论就通了。

11.3速度投影定理

从基点法可以推出一个非常实用的结论——速度投影定理：

定理从哪里来：基点法的一行推论

在基点法 v_B = v_A + v_BA 两边同时向连线 AB 方向投影：v_BA 垂直于 AB，投影天然为零，于是 [v_A]_AB = [v_B]_AB——速度投影定理就是基点法「取连线分量」的直接后果。它也可以反过来读：刚体不变形，两点距离就不变，两点沿连线方向既不许「靠近」也不许「远离」，沿连线的相对速度必为零。

适用边界：投影定理什么时候「哑火」

投影定理每用一次只提供一个标量方程，而且有一个隐蔽的失效场景——当连线方向与两点速度都近乎正交时。典型例子是纯滚动的轮子：轮心速度水平向前，最高点速度也水平向前，而两点的连线却是竖直的——投影定理给出 0 = 0，完全正确却毫无信息量。判据一句话：连线方向必须「穿过」速度，投影方程才携带信息。连杆机构中两点速度与连线都斜交，投影定理大显身手；滚动问题里则必须回到基点法或瞬心法。

这个定理的物理本质是「刚体不可变形」：两点间的距离不能变，所以它们沿连线方向的相对速度必须为零。用它能快速求解很多机构的速度问题，而不必知道角速度。

工程应用与花絮：为什么叫「椭圆规」

在杆上任取一点 K（设 AK = λ·AB），K 随杆运动时横坐标按 cosθ 缩放、纵坐标按 sinθ 缩放，轨迹恰是椭圆——长短轴分别等于 K 到 B、A 的距离。机械制图时代工程师用它画椭圆，今天精密磨床的椭圆磨削机构用的仍是同一几何。而对一般的连杆问题，投影定理是「30 秒口算」级工具：知道一端速度与杆的方位角，心算两次三角函数、一次除法，另一端速度立等可取——车间现场没有纸笔时，这一招尤其值钱。

三个 30 秒速算场景

场景一：剪叉式升降平台。两臂等长、铰点位于臂中点，下臂端以水平速度 v 被液压缸推动，臂与水平成 30°。另一端沿竖直方向运动、与臂成 60° 夹角——投影定理一行：[v]_臂 = v·cos30° = v′·cos60°，得 v′ = 1.73v。两个三角函数、一次除法，30 秒出答案。场景二：刮水器连杆。电机摆杆端速度已知，刮水臂速度方向沿刷片摆动方向、连杆方位角可从装配图量得——投影定理直接给出刷片速度，连杆角速度根本不用算。场景三：吊臂变幅机构。吊臂绕铰点转动、液压缸推动连杆，连杆两端速度方向的投影关系一行给出「臂端速度 : 缸速」的传动比。三个场景的共同点：两端速度方向已知、杆的方位角可量、大小知一求二——这正是投影定理的主场。凡是「方向已知」的条件凑够两个，先想想能不能用投影定理省掉整个基点法流程。

解析视角：投影定理就是「点积为零」

把基点法写成矢量式 v_B − v_A = v_BA，右边垂直于连线 AB；两边同时点乘 AB 方向的单位矢量 u_AB：右边点积为零，于是 (v_B − v_A)·u_AB = 0——两点相对速度沿连线分量为零。「点积」形式在写计算程序时特别顺手：任何平面机构，只要给定各铰链位置与速度矢量，一行代码就能校验「刚性约束是否满足」——数值仿真软件每一步积分都在做这件事。课堂上的三角函数，工程里的矢量点积，一体两面。

11.4瞬心法：找那个「此刻不动」的点

平面运动的刚体，在某一瞬时，总存在一个速度为零的点，叫 瞬时速度中心（简称瞬心）。找到了瞬心，整个刚体在该瞬时就等效于「绕瞬心做瞬时定轴转动」，各点速度计算立刻简化：

v_M = ω · (M 到瞬心的距离)

深入一步：瞬心为什么一定存在，它身上有哪些「坑」

存在性。设图形上 A、B 两点速度方向已知且不平行：过 A 作 v_A 的垂线、过 B 作 v_B 的垂线，两线必相交于一点 P——只要图形角速度不为零，P 就是速度为零的点。因此「有瞬心」不是巧合，而是平面运动速度线性分布的必然结构；速度平行时垂线重合或平行，瞬心退到连线延长线上或无穷远处。

坑一：瞬心可以在刚体外面。连杆机构中瞬心常落在连杆实体之外——瞬心是「速度为零的几何点」，不要求有材料。找瞬心画延长线时不要犹豫。

坑二：瞬心速度为零，加速度不为零。纯滚动轮的接触点：速度为零（正因如此它才是瞬心），加速度却不为零——a_n = ω²r = 20² × 0.4 = 160 m/s²，指向轮心。拿例题 1 的数字看，这个「不动点」的加速度是 160 m/s²，约等于 16 个 g！「速度为零」与「不受力、无加速度」完全是两回事，把瞬心当成「死点」是动力学分析的常见错误。

坑三：瞬心是「瞬时」的。下一个瞬时瞬心就搬家：滚动轮的瞬心在空间中沿地面直线移动（定瞬心轨迹），在轮身上沿轮缘绕圈移动（动瞬心轨迹）。整个平面运动可以想象成「动瞬心轨迹在定瞬心轨迹上无滑动滚动」——这对轨迹概念在高级机构学与齿轮瞬心线设计里继续开花。

瞬心轨迹：把「瞬时」串成「轨迹」

把每个瞬时的瞬心位置连起来，得到两条轨迹：定瞬心轨迹（瞬心在固定空间中留下的轨迹）与动瞬心轨迹（瞬心在运动刚体上留下的轨迹）。纯滚动轮子：定瞬心轨迹是地面上的直线，动瞬心轨迹是轮缘圆——轮子的滚动可以严格地说成「轮缘圆沿地面直线无滑动滚动」。任何平面运动都是动瞬心轨迹沿定瞬心轨迹的无滑动滚动，这是平面运动几何学最美的一条结论。

由它可以理解一批经典轨迹：轮缘上一点的轨迹是摆线——正是该点逐次绕不同瞬心转出的小圆弧连成；轮内一点的轨迹是短幅摆线，铁路车轮的轮缘凸缘点上甚至出现「倒退」段——车轮滚滚向前，凸缘上确有瞬时向后运动的点，这不是悖论，而是速度分布「到瞬心距离成正比」的自然结果。齿轮啮合的「瞬心线法」同样源于此：两齿廓接触点的公法线必须始终通过相对速度瞬心——这是共轭齿廓设计的基本准则。例题 4 的「速度地图」在连杆机构里同样成立：找到瞬心后，连杆速度分布就是一幅「箭头长度正比于到瞬心距离」的辐射图。

两道口算自检：瞬心距离公式

口算一。轮半径 0.3 m、轮心速度 6 m/s，轮缘上与接触点成 120° 圆心角的那点速度多大？——先 ω = 6/0.3 = 20 rad/s，再 d = 2 × 0.3 × sin60° = 0.52 m，v = 20 × 0.52 = 10.4 m/s，方向垂直于该点到接触点的连线。三次乘除，答案到手。口算二。同一轮子，轮缘哪一点的速度恰好等于 1.5 倍轮心速度？——由 v = ωd = 1.5v_C = 1.5ωr 得 d = 1.5r，代入 d = 2r·sin(θ/2) 得 sin(θ/2) = 0.75，θ = 2 × 48.6° ≈ 97°。正着算、反着解都顺手，公式才算真正掌握。

找瞬心的四种情形：一张表解决

多杆机构找瞬心还有一件「第五种武器」——三心定理（肯尼迪定理）：彼此作平面相对运动的三个构件，三个速度瞬心必位于同一条直线上。四杆机构上手最快：设机架为构件 1、曲柄为 2、连杆为 3、摇杆为 4，四处铰链就是四个现成的已知瞬心；求连杆对机架的瞬心时，由构件 1、2、3 三心共线，它必落在曲柄两铰的连线上，由构件 1、3、4 三心共线，又必落在摇杆两铰的连线上，两线交点即为答案，一条速度垂线都不必画。定理的直觉可用反证体会：第三个瞬心若脱离这条线，铰链点的相对速度方向就与绕瞬心转动的要求自相矛盾。机构学里它与上表四种情形配合，是瞬心法的标准装备。同样的两条共线约束，还能顺手定出曲柄相对摇杆的瞬心。

速度影像法：一张「相似三角形」的直觉图

平面图形上任取三点 A、B、C 组成三角形，把三点的速度矢量从同一原点画出，三个矢量端点连成的三角形与 ABC 相似（对应边互相垂直、长度按 ω 等比缩放）。图解法时代工程师靠它「画图代替计算」；今天虽不再手绘，这条「相似」直觉仍是最快的查错工具：原三角形是钝角的，速度三角形也必须钝——一眼不合，必有一处算错。

操作清单：瞬心法四步走

第一步，找瞬心。用「四种情形」速查表：两点速度方向不平行→垂线交点；纯滚动→接触点；速度平行且垂直连线→比例外分；速度平行相等→瞬时平动。第二步，量距离。从瞬心到各关键点量距离，速度比例立刻现形。第三步，定基准。用速度已知的一点反算 ω = v_已知/距离。第四步，辐射算。v = ω×距离逐点算出，方向一律垂直于该点到瞬心的连线。与基点法相比，瞬心法的全部计算量都压在「找瞬心」一步——找对了，后面清一色乘除法；找错了，全盘皆错。所以画完机构图先别急着算，用速查表把瞬心位置确认两遍再动笔。

工程应用：行星轮系与履带的「一行流」

行星轮系。行星轮既绕自身轴自转、又随系杆公转，基点法要拆两次；瞬心法只看一条：行星轮与固定齿轮的啮合点速度为零，就是瞬心——行星轮角速度 = 系杆销轴速度 ÷ 销轴到啮合点的距离，一行出答案。涡桨发动机与直升机主减速器里的行星轮系，设计审查时标注的第一条速度关系往往就是它。履带车辆。履带下支段贴地不动，驱动轮、负重轮相对它的速度分布都能用「接触点即瞬心」心算，用于估算履带卷绕速度与抛泥方向。定轴转动的摇臂。起落架收放机构的摇臂绕固定铰链转动——这正是瞬心法的退化特例：瞬心就是转轴，永远不动窝。

实战策略：三种方法的出场顺序

机构速度分析的实战流程，本质是「用最便宜的方法消掉未知数」：第一便宜是瞬心法——几何条件明显（纯滚动、两方向已知）时，找交点、量距离，ω 与全部速度一轮乘除到手；第二便宜是投影定理——两端方向已知时一行标量方程；最通用是基点法——任何位置任何条件都能列方程，代价是联立求解。多杆串接的复杂机构，标准打法是：从已知速度的主动件出发，每过一个铰链换一根杆，每根杆独立挑最便宜的方法，把「已知速度点」像接力棒一样传下去。定轴转动的构件绕开三法直接 v = ωr；纯平动构件速度处处相同。真正的功力在「贴标签 + 选方法」的前三十秒，计算本身反而是机械劳动。

速度影像法小证：为什么「相似」

设 A、B、C 为图形上三点，v_B = v_A + ω×r_AB、v_C = v_A + ω×r_AC。两式相减：v_B − v_C = ω×(r_AB − r_AC) = ω×r_CB——任意两点的速度差都是同一个 ω 叉乘两点连线。把 v_A、v_B、v_C 从同一原点画出，端点三角形的每条边（速度差矢量）都垂直于原三角形对应边、长度是原边的 ω 倍——「旋转 90°、放缩 ω 倍」正是相似变换。记住这张「速度端点图」，遇到三点机构（连杆上三个铰链点）随手一画，速度关系立刻可视化，还能一眼校出计算错误。