第 6 章　求导法则

6.1基本导数表：你的「乘法口诀」

就像乘法有九九表，求导也有一张「基本导数表」。这是你后续所有计算的起点，值得花时间记熟。每一行都可以用上一章「差商取极限」的方法推出来（这里给出结论，理解其来源即可）。

这张表里最值得「想明白」的一条是 (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。为什么指数 n 会「搬下来」，然后指数减 1？用二项式展开 (x + Δx)ⁿ，首项 xⁿ 被减掉后，第二项是 n·xⁿ⁻¹·Δx，除以 Δx 后剩下 n·xⁿ⁻¹，其余项都含 Δx 的高次幂，取极限后全部消失。所以结果就是 n·xⁿ⁻¹。

把上面这段话展开成完整的账目，看得更清楚。在任意固定点 x₀ 处写差商（对正整数 n 用二项式定理）：

(x₀+Δx)ⁿ − x₀ⁿ = C_n¹x₀ⁿ⁻¹Δx + C_n²x₀ⁿ⁻²(Δx)² + … + C_nⁿ⁻¹x₀(Δx)ⁿ⁻¹ + (Δx)ⁿ

两边除以 Δx：

差商 = n·x₀ⁿ⁻¹ + C_n²x₀ⁿ⁻²Δx + … + (Δx)ⁿ⁻¹

当 Δx→0 时，等号右边只有第一项不含 Δx，其余每一项都至少带着一个 Δx，全部归零。极限就是 n·x₀ⁿ⁻¹。用一个具体数字核对：n = 5、x₀ = 2 时，差商展开为 80 + 80Δx + 40(Δx)² + 10(Δx)³ + (Δx)⁴，取极限得 80，而口诀给出 5×2⁴ = 80——账目完全吻合。这个「留下一次项系数、高次项归零」的模式，正是「用线性项近似」思想的第一次亮相，本章 6.3 讲链式法则的严格证明时还会再用到它。

表中公式几乎都是「在定义区间内部处处可导」的函数，但边界处要单独检查：√x 在 x = 0 只有单侧无穷导数，1/x 与 ln x 在 x = 0 根本没有定义，tan x 在 cos x = 0 处「导数趋于无穷」且函数本身也间断。所以养成一个习惯：查表之前，先扫一眼这个点在不在函数的定义域里、函数在这一点是否连续——上一章的连续性检查，是本章一切求导操作的前置关卡。

工程视角：这张表就是各种计算软件里「符号求导」的底层字典。你在仿真工具或表格软件里输入一个公式，软件的第一步就是把它解析成基本函数的组合，然后逐条查这张表、再按接下来几节的法则组装。手工求导练的不只是算术，更是「把复杂表达式拆成基本件」的建模眼光——这正是读懂软件输出、并在软件出错时人工兜底的能力。

怎么背这张表：两两成对、彼此校验

孤立地背九条公式容易背串，按「结构对」来记反而更牢：幂一对（xⁿ 与它的对偶 ln x）、指数一对（eˣ 与它的对偶 sin/cos）、三角一对（sin 与 cos 互相转化）。每背完一对，立刻用一两个具体数字自查：如 (eˣ)′ 在 x = 1 处还是 e（约 2.718）——「自己导自己」当场兑现；(ln x)′ = 1/x 在 x = 2 处是 0.5——「倒数」当场兑现。数字自查花不了十秒，却能把「背错的公式」在入脑前拦下来。

还有一条更深的观察：表里每一行导数，都比原函数「降一阶复杂」。幂函数求导指数减一，多项式每求一次导次数掉一级，最终退化为常数；而 sin/cos、eˣ 这类函数求导后「原地转圈」（sin→cos→−sin→−cos，四阶一循环；eˣ 恒不变）。「越求越简单」与「求导不变」两类行为，正是第 8 章级数展开、第 10 章微分方程里反复出现的两种基本模式。现在记表时多看一眼「导完变成谁」，比死记「导数是谁」更有后劲。

表中 tan x 的导数 1/cos²x 是唯一「现推比死记划算」的一条：tan x = sin x / cos x，用下一节的除法法则，(tan x)′ = [cos x·cos x − sin x·(−sin x)]/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x——分子被勾股定理收干净。先背结论，等学完除法法则后亲手推一遍，这条就从「记忆负担」变成「验证案例」。

6.2四则运算的求导法则

函数能加减乘除，导数也能。设 u、v 都是 x 的函数，有四条法则：

前两条「加减」和「数乘」非常直观：变化率可以拆开、可以提常数。但乘法和除法要特别小心，因为它们不能简单地「各自求导再相乘」。

「直观」的加减法则其实也有账可查。按定义写差商：[(u+v)(x+Δx) − (u+v)(x)]/Δx = [u(x+Δx) − u(x)]/Δx + [v(x+Δx) − v(x)]/Δx，分子上下结构一致，可直接拆成两个差商之和；令 Δx→0，用上一章「极限的四则运算法则」（和的极限等于极限之和），两项分别收敛到 u′、v′，法则得证。整个证明只用到一个前提：u′、v′ 都存在。这个「拆成两份、分别取极限」的小动作虽不起眼，却是一切「分而治之」求导策略的原型——后面的法则无非是同样的动作换了花样。

为什么乘法法则是 u′v + uv′？可以这样直觉理解：两个都在变的量相乘，乘积的变化来自两处——u 变了（u′）而 v 没动，加上 v 变了（v′）而 u 没动。两部分贡献加起来，就是 u′v + uv′。

把这张「面积图」翻译成代数，就是乘法法则的严格证明。设自变量从 x 变到 x + Δx，则乘积的增量为：

Δ(uv) = (u + Δu)(v + Δv) − u·v = Δu·v + u·Δv + Δu·Δv

两边除以 Δx：

Δ(uv)/Δx = (Δu/Δx)·v + u·(Δv/Δx) + Δu·(Δv/Δx)

令 Δx→0：第一项的 Δu/Δx → u′（v 不动），第二项的 Δv/Δx → v′（u 不动），第三项是两个无穷小量之积——比单独一个无穷小更高阶的小，图 6-1 右下角那块小方块就是它，取极限后归零。于是 (uv)′ = u′v + uv′。这个「高阶小量扔掉」的手法，与 6.1 节二项式展开里扔掉 (Δx)² 以上各项是同一招，后面链式法则还要第三次用到它——微分学的核心手艺，就是把增量中「一次以上的部分」合法地丢掉。

除法法则不必另起炉灶，可以从乘法法则「逆向」得到，思路是：把 u/v 写成 u·v⁻¹，对 v⁻¹ 用「幂函数公式 + 链式法则」（把 v 当作中间变量，注意 v⁻¹ 对 v 求导得 −v⁻²，再补乘 v′）：这样 (u/v)′ = u′·v⁻¹ + u·(−v⁻²·v′)，通分整理就得到 (u′v − uv′)/v²。符号口诀「分子导乘分母，减去分子乘分母导」之所以顺序固定，是因为这两项相减不能交换——把顺序记反，符号就全错。另外分母必须是 v² 而不是 v，这不是笔误：通分时两个 v⁻¹、v⁻² 要归到同一个分母，自然出现平方。

乘法法则可以推广到三个因子：(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′。证法就是「轮流当主角」：每个因子各当一次「变化者」，其余因子原地不动，三项相加。数学上可以对 (uv)w 反复套两因子法则验证；直觉上还是面积图的三维版——长方体体积 uvw 的增量，来自三条棱各自伸长贡献的三个「薄板」，而两棱同时伸长的角块是高阶小量。因子再多也一样：四因子四项、五因子五项，每项恰有一个因子在求导。

检验推广公式的办法很朴素——代数字：取 u = x、v = x²、w = x³，则 uvw = x⁶，直接求导得 6x⁵；用推广公式得 1·x²·x³ + x·2x·x³ + x·x²·3x² = x⁵ + 2x⁵ + 3x⁵ = 6x⁵。吻合。用简单幂函数当「试金石」来验证刚学的法则，是自学者应该养成的习惯——成本低、说服力强。

6.3链式法则：复合函数求导

这是求导法则里最重要、最常用的一条。先看什么是复合函数：

比如 y = sin(x²)。这可以看成「两件事先后发生」：先把 x 平方得到 x²，再对 x² 取正弦。也就是 y = sin(u)，其中 u = x²。这就是复合函数——函数套函数。

怎么求它的导数？答案是链式法则：

用莱布尼茨记号看，链式法则几乎是「显而易见」的：dy/dx = (dy/du)·(du/dx)，右边两个 du 好像「约掉」了，就剩 dy/dx。虽然这只是记法上的巧合，但它完美传达了「变化率逐层传递」的思想。

拿 y = sin(x²) 实操一遍：

1. 外层是 sin，内层是 u = x²。
2. 外层导数：d(sin u)/du = cos u。
3. 内层导数：du/dx = 2x。
4. 相乘：dy/dx = cos u · 2x = cos(x²) · 2x。

链式法则的直觉：「变化」是一层层传下去的。x 变一点，内层 u 跟着变（速度 du/dx）；u 一变，外层 y 也跟着变（速度 dy/du）。总的变化率，就是两层「传递速度」的乘积。

「直觉版」的链式法则为什么不严谨？写出来看看：从 Δy/Δx = (Δy/Δu)·(Δu/Δx) 出发，令 Δx→0，想让右边变成 (dy/du)·(du/dx)。这里藏着一个裂缝——Δu 有可能等于 0：一旦 Δu = 0，因子 Δy/Δu 就没有意义，不能写在分母上。「约分」式推导默认了 Δu 恒不为零，而内层函数完全可能在 x 变动的过程中反复折返，使 Δu 时不时归零。

严格的处理办法是回到「线性近似」：既然 f 在 u 处可导，把增量写成「一次项 + 高阶小量」的形式：

Δy = f′(u)·Δu + α·Δu　（其中当 Δu→0 时 α→0）

两边除以 Δx：Δy/Δx = f′(u)·(Δu/Δx) + α·(Δu/Δx)。令 Δx→0：由 u = g(x) 可导得 Δu→0 且 Δu/Δx → g′(x)；而 α → 0，于是第二项 α·(Δu/Δx) → 0·g′(x) = 0，干净利落地消失——整个式子里根本没有出现过 Δu 作分母，Δu 等不等于 0 都不影响。第一项收敛到 f′(u)·g′(x)，链式法则成立。

这个证明是本章「含金量」最高的一段：它展示了「先写成一次项加高阶小量，再取极限让小量消失」的标准动作——6.1 节二项式展开用的是它，6.2 节乘法法则用的是它，这里第三次用到它。读懂了这一招，微积分里大量「显然」的公式都能自己补出严格账目。

链式法则对多层复合照样适用：y 套 u，u 套 v，v 套 x，就连续乘三次。求导口诀「从外往里剥洋葱」说的就是这个流程——最外层先求导，把内层整体当作「现在的变量」；剥完一层，再对下一层求导，一路乘到最里层：

y = f(g(h(x))) ⟹ dy/dx = f′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)

顺带回答一个常见的疑问：为什么工程公式里到处都是 e 的指数？从本例能看得很直白——指数函数是唯一「变化率与当前值成正比」的函数（(eˣ)′ = eˣ，导数是自己的翻版）。压力衰减「剩下的越多降得越快」、电容放电「电压越高漏得越快」、放射性衰变「存量越大衰变得越多」，凡属这类「按存量比例消退或增长」的过程，数学上的唯一解就是指数函数。所以看到 e^−t/40，不需要背它，要读出它背后的物理含义：这是一个「变化率正比于当前值」的衰减过程，时间常数 40 秒。

工程直觉：链式法则是「多级传动的转速关系」。想象一串啮合的齿轮：主动轮转速 du/dx 带动中间轮，中间轮再以 dy/du 带动末端轮，末端轮的最终转速就是两级传动比的乘积 (dy/du)·(du/dx)。「每一级只管自己那对啮合」——这就是为什么求多层复合导数时不必整体硬啃，逐层算传动比再连乘即可。反过来，它也解释了误差为什么会逐级放大：某一级的传动比（局部导数）越大，输入端的一点抖动在输出端就被放得越厉害。读传感器链路、信号链路时，「这条链上哪一级导数最大」就是「误差在哪儿被放大」的答案。

一阶微分形式不变性（进阶小窗）：把链式法则改写成微分形式：不管 u 是自变量还是中间变量，dy = f′(u)du 的形状永远成立。对比一下：导数记号 f′(u) 明确要求「u 是当前的自变量」，换一层就要换字母；而微分记号把「谁是变量」这个问题模糊掉了——d 后面跟谁就是谁的微分。正因为如此，工程单位制里大量的「每米多少」「每秒多少」直接用 dA/dB 书写并像分数一样参与运算（如 6.5 节的 (dy/dt)/(dx/dt)），靠的就是这层不变性。它是莱布尼茨记号历经三百多年不衰的真正原因。

6.4隐函数求导

之前见到的函数都是「显式」的：y = f(x)，y 单独在左边。但有时关系是「混在一起」的，比如圆的方程：

x² + y² = 1

这里 y 没有单独解出来，x 和 y 纠缠在一起，这种关系叫隐函数。怎么求 y 对 x 的导数 dy/dx？

思路是：把方程两边同时对 x 求导，把 y 看成 x 的函数（用链式法则处理含 y 的项），然后解出 dy/dx。

对 x² + y² = 1 两边求导：

• 左边：d(x²)/dx = 2x；d(y²)/dx = 2y · (dy/dx)（这里用了链式法则：y 是 x 的函数）。
• 右边：d(1)/dx = 0。

所以：2x + 2y·(dy/dx) = 0，解出：

dy/dx = −x/y

这个结果很漂亮：圆上任意一点的切线斜率是 −x/y。这也解释了「圆的半径和切线互相垂直」这一几何事实（斜率互为负倒数）。

为什么非要绕「隐函数」这道弯，而不先把 y 解出来变成显式函数？两个原因。其一，很多时候解不出来或解出来更难算：圆的方程解出 y = ±√(1 − x²)，带 ± 号、带根式，求导繁琐还得分上下半圆两支处理；而像 y⁵ + y − x = 0 这类方程，五次多项式没有一般的根式解，显式化根本不可能，隐函数求导却是三行就完。其二，隐函数求导保留了几何原貌：斜率表达式中同时含 x 与 y，直接告诉你「在这条曲线的这个点」切线如何，无需关心 y 属于哪一支。

需要注意一点：隐函数求导的合法性依赖于「y 确实是 x 的某个函数」，而且在这一点的邻域内这条隐曲线可以局部地当作函数图像（不出现竖直方向的重叠）。这套「隐函数存在条件」的严格表述超出本章范围，先记一个工程判据：只要曲线在所论点切线不竖直、且 dy/dx 解出来分母不为零，结果就是可靠的。

工程视角：装配约束、等势线、载荷包线等大量工程关系都以「方程」而非「显函数」的形式出现：两个量被一个几何或物理条件锁在一起。隐函数求导让你不解方程也能拿到变化率——比如上例中，想知道椭圆某点处坡度多陡，直接代入 −16x/(25y) 即可，管它 y 是哪一支。

顺带收获一个漂亮的推论——反函数导数。把 x 看成 y 的函数，对方程两边求导（这次对 y 求导，含 x 的项补乘 dx/dy），对圆就得到 dx/dy = −y/x。与 dy/dx = −x/y 相乘，乘积恰好是 (+1)：dy/dx 与 dx/dy 互为倒数。这并非圆的巧合，而是普遍规律：同一曲线，正着爬与倒着爬，坡度互为倒数（爬升 2:1 的坡倒着下变成 1:2）。6.5 节参数方程公式 (dy/dt)/(dx/dt) 的「除法结构」，本质上也是这条倒数关系在起作用。

6.5参数方程求导

有时曲线不是「y 关于 x」，而是 x、y 各自关于第三个变量 t（常代表时间）变化：

x = φ(t)，　y = ψ(t)

这叫做参数方程。它特别适合描述运动轨迹：t 是时间，x(t)、y(t) 是某时刻的位置坐标。

那么 y 对 x 的导数（即曲线切线斜率）怎么求？用链式法则可以巧妙地推出：

为什么？因为 dy/dx = (dy/dt)·(dt/dx)，而 dt/dx 是 dx/dt 的倒数，所以 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。

例：圆的参数方程 x = cos t，y = sin t（t 是角度）。那么：

• dx/dt = −sin t，dy/dt = cos t。
• dy/dx = cos t / (−sin t) = −cos t / sin t = −x/y。

看，结果和上一节隐函数求导完全一致——同一个圆，两种算法，殊途同归。这说明不同求导方法是相通的。

这里还有一个使用前提值得强调：分母 dx/dt 不能为零。若某时刻 dx/dt = 0，意味着运动在该点的水平速度为零——轨迹在这里的切线是竖直的，斜率不存在（或说趋于无穷），公式在该点失效不是公式错了，而是「斜率」本身不存在。这和上一章「立方根在原点的竖直切线」是同一个现象。

工程视角：航迹规划、机械臂末端轨迹、翼型外形曲线，工程世界里大量曲线天然就是「按参数走」的：翼型上下表面常以弦向位置为参数给出纵坐标，机械臂末端的作业路径以时间为参数给出 x 与 y（或更多坐标）。参数方程求导因此不只是考题技巧，而是从「按步走」的数据反推「路面坡度」的标准动作。例题 7 里那种「水平匀速、竖直加速」的组合（x = 80t、y = 2t²）正是抛物线 y = x²/3200 的参数化身——同一轨迹，两套描述，求导法则负责在两套语言之间互译。